G2925. Une variante pascalienne - G2925. Une variante pascalienne G2. Combinatoir...

Problème proposé par Jean-Louis Margot (à partir du problème G2923)

Soit le triangle de Pascal. On numérote ses éléments de haut en bas et de gauche à droite à partir de 1.
Ainsi le 1 sommet du triangle a le numéro 1,
ligne suivante: 1 et 1 ont les numéros 2 et 3,
ligne suivante :1, 2 et 1 ont les numéros 4, 5 et 6
etc...
1) Combien y a -t-il d'occurrences de 2017 dans ce tableau ? Quel est le numéro de la dernière occurrence ?
2) Même question pour 2016
3) Quel est l'élément de numéro 1 000 000. Combien d'occurrences de 20 000 avant ce nombre ?

Tous les nombres ci-après sont des nombres entiers positifs qui ne commencent jamais par 0.

Q₁ : ab57 est un nombre de quatre chiffres divisible par 23.

Quel entier s'écrit ab ?

Q₂ : abc205 est un nombre de six chiffres divisible par 139.

Quels entiers s'écrivent ab ?

Q₃ : abcde37 est un nombre de sept chiffres divisible par 13.

Quel est le plus petit entier qui s'écrit abcde37 ?

Q₄ : abc314 est un nombre de six chiffres divisible par 48.

Quel entier s'écrit abc ?

Q₅ : abcd9e41f est un nombre de neuf chiffres divisible par 831168.
Quels sont les chiffres a,b,c,d,e et f?

Nota:comme les cinq questions se résolvent trivialement avec un automate,seul un traitement manuel mérite d'être pris en considération.

Solution