| G2917. En rang par trois |
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| G2. Combinatoire - Dénombrements |
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Problème proposé par Yves Foussard On considère les combinaisons de neuf objets,étiquetés de A à I,pris trois par trois sans tenir compte de l'ordre.
On obtient N = C(9,3) = 84 trios à partir desquels on constitue des ensembles Ek de k trios tels que: ‒ deux trios quelconques n'ont jamais deux objets en commun1, ‒ les N ‒ k autres trios ont deux objets en commun avec l'un au moins des k trios. Q1 Déterminer la plus petite valeur possible k1 de k. Donner un exemple des trios appartenant à Ek1. Q2 Déterminer la plus grande valeur possible k2 de k. Donner un exemple des trios appartenant à Ek2. Q3 Déterminer les valeurs entières de k telles qu'il existe au moins un ensemble Ek. 1Nota : par exemple si Ek contient le trio ACH, alors les trios ACX,ACY,CHZ en sont exclus quels que soient X, Y et Z choisis parmi {B,D,E,F,G,I}. Solution Jean Moreau de Saint Martin,Fabien Gigante et Patriick Gordon ont résolu tout ou partie du problème.
Les valeurs extrêmes de k sont k1 = 8 et k2 = 12. |
