Notons [a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆] le dé qui porte sur ses faces les entiers a_ipour i = 1 à 6 avec 1 ≤ a₁ < a₂ < a₃< a₄ < a₅ < a₆.

On note S_n(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆) le nombre de sommes distinctes qu’on peut obtenir en lançant n fois le dé [a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆]

Q₁ Démontrer que pour tout dé S_n(a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆) ≤ C(n+5,5) *
Q₂ Démontrer que ce maximum peut être atteint par un choix convenable des a_i pour tout entier n ≥ 1.
Q₃ Pour n = 2,3,4 ou 5, trouver des a_ipour i = 1 à 6 tels que S_n(a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆) = C(n+5,5)* avec a₆ minimal.
Exemple : pour n = 2, le maximum C(7,2)* = 21 est atteint avec le dé [1, 2, 5, 11, 13, 18] qui, lancé deux fois, peut donner les 21 sommes{2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 29, 31, 36} et a₆ est le minimum possible.
* Nota : C(p,q) désigne le nombre de combinaisons de p objets pris q à q.

Solution