G276. Multiplier pour égaliser |
G2. Combinatoire - Dénombrements |
On écrit sur 120 cartes les fractions de la forme k/(k+1) pour k variant de 1 à 120 : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,....,119/120, 120/121. On partage le paquet P de 120 cartes en deux paquets de a cartes et de b cartes, a + b = 120, a ? b, et pour chacun d’eux on calcule les produits p1 et p2 des fractions correspondantes. On s’intéresse désormais aux partages de P qui satisfont l’égalité p1 = p2. Q1 Démontrer qu’il existe au moins un partage de P qui satisfait cette égalité. Q2 Donner les valeurs minimale et maximale de a et décrire des partages de P correspondant à ces deux valeurs. Q3 Dénombrer toutes les valeurs possibles de a. SolutionJean Moreau de Saint-Martin,Pierre Henri Palmade,Pierre Leteurtre,Francesco Franzosi,Paul Voyer,Maurice Bauval,Antoine Verroken,Patrick Gordon,Abdelali Derias et Daniel Collignon ont résolu tout ou partie du problème. Les partages de P qui satisfont l’égalité p1 = p2 sont obtenus avec p1 = p2 = 1/11 et les valeurs possibles de a sont comprises entre 10 et 60 (bornes incluses). |