Problème proposé par Richard Riedel.

Dans un rectangle de hauteur H et de largeur L (H≤ L) qui comporte HxL cases, on noircit un certain nombre d’entre elles et dans chaque case on inscrit le nombre des cases noires qui ont un côté commun avec elle, incrémenté d’une unité si la dite case est elle-même noire. L’objectif est de créer un rectangle appelé « impair » dans lequel tous les nombres inscrits dans le rectangle sont impairs.

Ci-après deux exemples, l’un d’un rectangle impair de dimensions (2,3) et l’autre d’un rectangle de dimensions (3,4) qui n’est pas impair.

Proposition : quels que soient H et L entiers > 0, il existe au moins un rectangle impair. Cette proposition est-elle vraie ou fausse ?
On généralise le problème à 3 dimensions avec  des parallélépipèdes caractérisés par leur hauteur H, leur longueur L et leur profondeur P (H, L, P entiers > 0). Existe-t-il au moins un "parallélépidède impair" quels que soient H, L et P ?

 Solution

Richard Riedel et David Amar ont résolu le problème.