G224. Voyage spatial en Diophantie Imprimer
G2. Combinatoire - Dénombrements
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Dans la galaxie Diophantie, l’espace (à trois dimensions) est partagé par un certain nombre de plans tels que trois d’entre eux ont toujours un point commun mais quatre ou plus ne passent jamais par le même point. On dénombre 2164 régions ouvertes sur l’infini.Calculer le nombre de polyèdres disjoints deux à deux (1) délimités par ces plans.
Pour les plus courageux : déterminer le nombre de plans partageant l’espace de Diophantie tel que le nombre de polyèdres disjoints deux à deux (1) délimités par ces plans est le plus grand carré parfait possible.
(1) un même polyèdre ne contient pas deux points séparés par un des plans.

 Solution


Jean Moreau de Saint Martin,Louis Rogliano,Patrick Gordon,Pierre Renfer,Pierre Jullien et Rodolfo Niborski ont résolu la première partie du problème et ont identifié n = 47 plans délimitant (n-1)*(n-2)*(n-3)/6 = 15180 polyèdres disjoints deux à deux.Ils ont également constaté que pour n = 51, le nombre tétraédral de polyèdres disjoints est le plus grand carré parfait possible 19600 = 1402.La démonstration complète se trouve dans la solution de Jean Moreau de Saint Martin.
De son côté Daniel Collignon donne les références de l'article de A.A.J. Meyl,ancien capitaine d'artillerie,paru en 1878 dans les Nouvelles Annales Mathématiques et qui démontre la même propriété avec une pile de boulets à base triangulaire.