| G255. Dénombrements dans un maillage |
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| G2. Combinatoire - Dénombrements |
  
Problème proposé par Gilles Josse
On désigne par T(n) le nombre des triangles non dégénérés dont les sommets sont choisis parmi les n2 points de coordonnées entières d’un maillage carré n x n . Parmi ces triangles, on recense le nombre R(n) des triangles rectangles et le nombre I(n) des triangles isocèles. Quelle est la limite du rapport R(n)/I(n) quand n devient infiniment grand ? Nota : deux triangles sont considérés comme distincts s’ils ont au plus deux sommets communs. SolutionPhilippe Laugerat a calculé les valeurs de R(n) et de I(n) jusqu'à n = 102 et a obtenu sur un total de 187 514 979 616 triangles inscrits dans un maillage 102 x 102, 375 863 668 triangles rectangles et 277 124 920 triangles isocèles. En l'absence de formules générales pour ces deux varaiables, aucune loi n'est apparue clairement dans la limite du ratio R(n)/I(n) quand n tend vers l'infini. Le problème reste donc ouvert. |