En arrivant dans le parc d’attractions « Trois-Étoiles »,Zig a dans son porte-monnaie un certain nombre de pièces d’un euro (1 €). Il porte un bracelet magique dont la couleur dépend du  nombre d’euros (modulo 3) contenus dans son porte-monnaie ; rouge si le nombre est multiple de 3, bleue s’il vaut 1 modulo 3 et verte  s’il vaut 2 modulo 3.
Zig se présente à un stand où chaque partie consiste à choisir un jeu A ou un jeu B.
Dans le jeu A, Zig a en main une pièce de monnaie P_A dont la probabilité d’obtenir « Pile » est 0,495. Zig gagne +1 € si le lancer de la pièce donne « Pile » et sinon, il perd −1 €.
Dans le jeu B, on confie à Zig une pièce de monnaie P_B1 si son bracelet est de couleur rouge et une pièce de monnaie P_B2 si son bracelet a l’une des deux autres couleurs, bleue ou verte .Les probabilités d’obtenir « Pile » avec P_B1 et P_B2 sont respectivement égales à 0,095 et 0,745. A chacun de ces lancers Zig gagne + 1 € s’il obtient « Pile » et sinon, il perd −1 €.
Q₁ Montrer que les jeux A et B  pris séparément sont perdants, c’est-à-dire que les espérances mathématiques par lancer sont strictement négatives.[**]
Q₂ Zig joue « Mélange » : à chaque coup, il choisit A avec la probabilité 1/2 et B avec la probabilité 1/2. Montrer que ce mélange devient gagnant et calculer l’espérance de gain par lancer.[****]

 Solution