Zig trace les sommets d’un polygone régulier sur un cercle de rayon 5 cm et de centre O et choisit au hasard trois d’entre eux P,Q,R pour former le triangle PQR .La probabilité qu’il obtienne un triangle rectangle est égale à la probabilité qu’il obtienne un triangle acutangle *.
Q₁ Donner le nom du polygone tracé par Zig.
Q₂ Déterminer la probabilité qu’il obtienne un triangle obtusangle.*
Q₃ Pour les plus courageux : déterminer l’espérance mathématique du carré de la distance de O à l’orthocentre du triangle PQR.
*Nota : dans un triangle acutangle, les trois angles sont aigus, c’est-à-dire < 90° et dans un triangle obtusangle, un angle est obtus c’est-à-dire > 90°.

 Solution

Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Pierre Henri Palmade,Michel Goudard,Thérèse Eveilleau,Patrick Kitabgi,Gaston Parrour,Emmanuel Vuillemenot,Francesco Franzosi,Bruno Grebille,Pierre Leteurtre,Daniel Collignon ont résolu tout ou partie de ce problème qui a été pose au Concours Général de Mathématiques 2003