Diophante et Hippolyte ont chacun une très vieille pièce de monnaie. L'une et l'autre sont loin d'être parfaites et les probabilités d'obtenir Pile sont respectivement p (pour celle de Diophante) et q (pour celle d'Hippolyte) avec p et q 1/2.On admet que les probabilités d'obtenir Face sont respectivement 1-p et 1-q.

Ils lancent plusieurs centaines fois de suite et simultanément leur pièce de monnaie et ils notent le résultat de chaque lancer. Par exemple avec huit lancers : PP, PF, FP, FF, FF, PF, PF, FF, PP. La 1 ère lettre désigne le résultat de Diophante et la 2 ème celui d'Hippolyte.

En bons statisticiens qu'ils sont, ils en tirent les conclusions suivantes :

1. la probabilité pour que Diophante obtienne Pile avant* Hippolyte est égale à 3/5.
2. l'espérance mathématique du nombre de lancers à l'issue desquels ils obtiennent Pile-Pile simultanément pour la première fois, est un nombre entier A.
3. l'espérance mathématique du nombre de lancers à l'issue desquels ils obtiennent Face-Face simultanément pour la première fois, est un nombre entier B.

En déduire la probabilité pour qu'Hippolyte obtienne Face avant Diophante.

* Cela signifie que lorsque Diophante obtient Pile au kème lancer pour la 1ère fois, Hippolyte obtient Face au cours de tous les lancers successifs jusqu'au kème lancer inclus.

 Solution