On place 2022 boules numérotées de 1 à 2022 sur une même rangée dans l’ordre croissant des numéros de gauche à droite. On tire au hasard une première boule puis une deuxième située à droite de la première, puis une troisième située à droite de la deuxième et ainsi de suite jusqu’à tirer la dernière boule numérotée 2022.
Cette dernière peut donc être obtenue à l’issue d’un tirage, de deux tirages,…, de 2022 tirages.
Q₁ Calculer l’espérance mathématique du nombre de tirages qui permettent d’obtenir la dernière boule.

On considère sur l’axe des abscisses l’intervalle OA de longueur 2022 et on trace au hasard avec une densité de probabilité uniforme un premier point P₁ sur cet intervalle, puis deuxième point P₂ sur l’intervalle P₁A, puis un troisième point P₃ sur l’intervalle P₂A….On désigne par e_k l’espérance mathématique de l’abscisse de P_k.
Q₂₁ Calculer les espérances mathématiques e₁,e₂,e₃ et le terme général e_k
Q₂₂ La probabilité que l’abscisse de P_k soit inférieure à e_k est très proche de 1/5. En déduire la valeur de k.