Problème proposé par Elie Stinès

En 2019, Zig et Puce se trouvaient dans une pièce dans laquelle étaient réunis des idiots (Zig
et Puce ne sont évidemment pas des idiots).A chaque fois qu’il ouvre la bouche, un idiot ment en inversant le sens du message avec une certaine probabilité indépendamment de tout ce qui peut se passer autour de lui et cette probabilité, qui est un nombre supérieur à 0,5 s’écrivant avec quatre décimales, est la même pour tous les idiots. Zig a glissé un message (« Zig aime Puce »)(1) à l’oreille du premier idiot, qui l’a ensuite glissé à
l’oreille du deuxième idiot, et ainsi de suite. Le dernier idiot a alors glissé le message à l’oreille de Puce.
Zig a constaté que, s’il y avait eu deux fois plus d’idiots, la probabilité que Puce entende le bon message (« Zig aime Puce ») aurait été 10²⁰¹⁹ fois plus proche de 0,5.
Donner le nombre d’idiots qui étaient présents et la probabilité qu’un idiot mente lorsqu’il ouvre
la bouche.
(1)Le message inversé est donc « Zig n’aime pas Puce. »

Solution