Problème proposé par Pierre Leteurtre

Soient 2 bases de numération B₁ et B₂ qui sont deux nombres premiers entre eux, avec B₁ < B₂. Un nombre N₁ en base 10 est représenté dans la base B₁ par l'expression E. Cette dernière est la même dans la base B₂ et correspond à N₂ en base 10. On s'intéresse aux cas où N₂ est multiple entier de N₁.

Par exemple: E = 334310
En base B₁ = 5, le nombre 334310 est égal à N₁ = 11.830 en base 10.
En base B₂ = 7, le même nombre 334310 est égal à N₂ = 59.150 en base 10.
Rapport: 59150 / 11830 = 5
Existe-t'il une infinité de tels cas, et peut-on trouver une formule, sans doute probabiliste, qui donne le nombre de cas en fonction des bases et/ou du nombre de caractères?

 Solution

Le problème reste ouvert. Pierre Leteurtre a rédigé une note dans laquelle il expose les résultats qu’il a obtenus sur le comportement des ratios N₂/N₁ et donne à titre d'exemple la liste des ratios entiers jusqu'à 30 caractères dans le cas où B₁ =7 et B₂ = 11.