D’après une suggestion de Gilles Josse

Dans un problème de géométrie, on me demande de tracer un triangle ABC quelconque qui n’est ni rectangle ni isocèle.
Pour ce faire, je définis un indice I =abs( [sin(u) - sin(v)].[(sin(v) - sin(w)].[(sin(w) - sin(u)].[1-sin(u)].[1-sin(v)].[1-sin(w)]) dans lequel u,v,w désignent les angles en A,B et C et abs(x) désigne la valeur absolue de x.Cet indice est nul quand le triangle est rectangle ou isocéle. A contrario il est positif avec un triangle qui n’est ni rectangle ni isocèle.
Q₁: calculer la valeur maximale de I d’une part dans la famille des triangles acutangles (I₁) et d’autre part dans la famille des triangles obtusangles (I₂₎ et donner les valeurs correspondantes des angles arrondies à l’entier le plus proche.
Q₂: on décide par convention qu'un triangle acutangle (resp. obtusangle) est vraiment quelconque si son indice I est supérieur à I₁ /2 (resp.I₂/2).On tire au hasard et indépendamment l'une de l'autre les valeurs entières en degrés de deux angles aigus du triangle sur une échelle graduée de 1° à 90°.Calculer la probabilité de construire 1) un triangle acutangle quelconque 2) un triangle obtusangle quelconque.

 Solution