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G1. Calcul des probabilités
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A,B,C,D et E décident de disputer un tournoi circulaire qui met successivement face à face deux personnes jouant à une partie de pile ou face (Ppf) où chacun d’eux a une probabilité de gain (ou de perte) égale à 1/2.
Les règles sont les suivantes :
-les joueurs A et B commencent le tournoi avec la 1ière Ppf. Le perdant met 1 € au pot.
- le gagnant affronte au tour suivant le joueur C pour la 2ième Ppf. Le perdant met 1 € au pot.
-le gagnant affronte au tour suivant le joueur D pour la 3ième Ppf. Le perdant met 1 € au pot.
- le gagnant affronte au tour suivant le joueur E pour la 4ième Ppf. Le perdant met 1 € au pot.
- si A (ou B) remporte les quatre Ppf n°1,2,3 et 4, le tournoi s’arrête et A (ou B) emporte le pot. Sinon, le tournoi continue jusqu’à ce qu’un joueur gagne quatre parties consécutives avec quatre joueurs tous différents. Un joueur quelconque qui a perdu la iième partie (i>4), mise au pot 1 € et entre à nouveau dans le tournoi pour la (i+4)ième partie dès lors que sur l’intervalle il n’y a pas de vainqueur déclaré.
Q1 : Calculer les probabilités de gain de chacun des cinq joueurs.
Q2 : Déterminer les joueurs qui ont une espérance de gain positive.
Q3 : Calculer la durée moyenne du tournoi en nombre de Ppf jouées.
Solution
Ce problème est connu sous le nom de problème de Waldegrave. Il a été posé en 1713 (bientôt trois cents ans!) par Charles Waldegrave au chevalier de Montmort qui l'évoque dans son ouvrage "Essay d'analyse sur les jeux de hazard".Il a donné lieu à une abondante correspondance entre N.Bernoulli, le chevalier de Montmort,A.de Moivre,...On en trouvera un extrait dans l'ouvrage précité de de Montmort.
La solution la plus élégante de ce problème complexe est donnée par Nicholas Bernoulli qui généralise le problème avec n joueurs et trouve les formules de récurrence permettant de calculer aussi bien les probabilités de gain de chacun des joueurs que leurs espérances. Les probabilités de gain vont logiquement decrescendo à partir des deux premiers joueurs mais , résultat à permière vue paradoxal, ce sont les joueurs qui jouent les derniers qui ont des espérances de gains positives alors que les premiers joueurs ont des perspectives de perte. La durée moyenne d'un tournoi est égale à 2n-1 - 1 = 15 pour n=5.
Pierre Henri Palmade a trouvé les probabilités de gain des cinq joueurs tandis que Pierre Renfer a trouvé la durée moyenne d'un tournoi.
Pour une réponse complète, on peut se reporter à la solution de Nicholas Bernoulli (1687-1759).
A noter une approche originale différente de celle de N. Bernoulli pour traiter la première question:
Avant le tournoi, on attribue une valeur à chacune des étiquettes portées par les cinq joueurs qui est mesurée par la probabilité de gain pi de chacun d’eux (i = 1,2,3,4,5) avec p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1. Comme A est susceptible de gagner le premier à l’issue des quatre premières Ppf avec une probabilité égale à 1/23= 1/16, la plus grande valeur est logiquement attribuée à A. La valeur de l’étiquette de B est la même.
Supposons que les joueurs C,D et E négocient avec A pour qu’il abandonne sa priorité et accepte de se mettre en dernière position après E. Le joueur A acceptera si tous les trois réunis lui paient la somme égale à 1/16*(p3 +p4 +p5). Comme A et B ont les mêmes chances de gain, B n’a rien à débourser. Donc si A passe au dernier rang, les autres joueurs C,D et E montent d’un cran. Comme C paie p3/16, on a donc p2 = p3 + p3/16 D’où p3 = 16p2/17 . Le même raisonnement avec D et E conduit à p4 = 16p3/17 et p5 = 16p4/17 avec p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1.
Enfin il est intéressant de mentionner les simulations réalisées sur ordinateur par trois lecteurs Régis Schoonheere,Philippe Laugerat et Frédéric Chevallier.Effectuées sur la base de plusieurs centaines de millions de parties, elles corroborent remarquablement les résultats théoriques.
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