Problème proposé par Christian Romon
Le jeu de la grimpette consiste à lancer un dé plusieurs fois de suite, du moins tant que le chiffre obtenu ne décroit pas et l’on s'arrête à la première valeur strictement plus petite que la précédente. Le score d'une partie est l'addition de toutes les valeurs obtenues y compris la dernière plus faible. Quelle est l’espérance mathématique du score ?
Je joue à la grimpette contre la banque et il est convenu que j’effectue les lancers du dé. Au début de chaque partie, je mise 1€. A l'issue de chaque partie,si mon score est strictement inférieur à 10, je perds ma mise. A contrario, je récupère ma mise et la banque me verse 1€. Qui va à la ruine ?

Solution

Pierre Renfer,Pierre Jullien,Jean Moreau de Saint Martin,Patrick Gordon,Antoine Vanney,Claude Felloneau,Daniel Collignon,François Bulot,Louis Rogliano,Frédéric Chevallier,Claudio Baiocchi,Pierre Henri Palmade et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème. La réponse de Q2 montre que je vais (très lentement) à la ruine, bien que l'espérance mathématique de mon score (10,45...) soit supérieure au seuil de 10 en deça duquel je perds ma mise.Les trois premiers lecteurs cités ont calculé l'espérance mathématique de la durée d'une partie qui est très proche de 3 (2,98...).