A724. La preuve par x,y,z (2ème épisode) Imprimer
A7. Problèmes de pesées

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n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. Disposant d’une balance Roberval à double plateau, sans boîte de poids, Zig se fait fort de démontrer le poids exact de tous les objets avec le plus petit nombre possible de pesées  faisant appel à des sous-ensembles de ces objets.
Par exemple:
- si n = 2, avec l'objet de 1g dans le plateau de gauche et l'objet de 2g dans le plateau de droite, la balance penche à droite et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact des deux objets,
- si n = 3, Zig met les deux objets de poids 1g et 2g dans le plateau de gauche et le poids de 3g dans le plateau de droite, les deux plateaux sont à l'équilibre et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact de l'objet de 3g placé dans le plateau de droite et il faut une deuxième pesée pour démontrer le poids exact des deux autres objets.
Pour n variant de 4 à 12, trouvez les nombres de pesées obtenus paz Zig. Justifiez vos réponses.

 

 Solution

Ce puzzle est une extension du problème A723 dans lequel il s'agit de déterminer le poids exact d'au moins un objet.
pdfPierre Henri Palmade,pdfBernerd Vignes,pdfAbdelali Derias, pdfJean Nicot et pdfPierre Jullien ont traité le problème.
Leurs réponses vont de 2 pesées pour les petites valeurs de n = 4,5,6 à 3 et 5 pesées pour n variant entre 7 et 12.
Les nombres des pesées optimales pour les premières valeurs de n = 1,2,..,19 figurent à l'adresse http://oeis.org/A186313 de l'OEIS et sont respectivement : 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 et .
Quatre pesées suffisent pour n variant entre 20 et 58.

L'analyse complète de ce problème a été faite par:
- Tanya Khovanova et Joêl Brewster Lewis dans le "Journal of Integer Sequences": pdfA724-Baron Münchhausen redeems himself : bounds for a coin weighing puzzle)
- ainsi que par Michael Brand dans son article:pdfLower bounds of the Münchhausen problem.