Dans le problème A712, nous avons fait une digression avec une balance électronique à un plateau. Revenons à la bonne vieille balance Roberval à deux plateaux sur lesquels on place 100 poids marqués de 1 à 100 grammes de telle sorte que les deux plateaux sont en équilibre. Il y a bien évidemment de multiples façons d'y parvenir. Démontrer que quelle que soit la répartition des poids dans les deux plateaux, il est toujours possible de retirer deux poids de chaque plateau sans rompre l'équilibre.

Qu'en est-il si l'on dispose de n poids marqués de 1 à n et qui peuvent se répartir en deux sous-ensembles de poids identiques.

Source : 21ème Tournoi des villes automne Junior

Solution

Pierre Henri Palmade,Fabien Gigante et Jean Moreau de Saint Martin ont résolu le problème.

Daniel Collignon apporte les précisions suivantes :

S'il est possible de retirer 2 poids de chaque plateau avec n= 100 poids marqués de 1 à 100g, ce n'est pas possible pour les n appartenant à la suite disponible sur http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001652 : 0, 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, 27304196, 159140519, 927538920, 5406093003, 31509019100, 183648021599, 1070379110496, 6238626641379, 36361380737780, 211929657785303, 1235216565974040, etc?.

Cette suite a également été identifiée par Pierre Jullien.

Pour les entiers n appartenant à cette suite, on peut écrire n(n+1)=2p(p+1) c'est à dire 1 +...+ p = (p+1) +... +n. Par exemple pour n = 20, on a p = 14.Les 2 ensembles de masses 1,2,...,p d'une part et p+1, p+2,..., n d'autre part constituent l'équilibre. Mais à droite tous les poids sont strictement supérieurs à gauche. Il est donc impossible d'enlever 2 poids de chaque côté tout en conservant l'équilibre.

Autre lien : http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=1562532805&t=23580