Zig choisit un entier n > 0 et établit toutes les partitions P_i (i = 1,2,….k) de cet entier sous la forme de suites d’entiers strictement positifs écrits dans un ordre non décroissant dont la somme est égale à n.
Pour chaque partition P_i, Zig mentionne le nombre u_i de chiffres 1 et le nombre d_i d’entiers distincts
Par exemple avec n = 4, on a les k = 5 partitions suivantes:  
 P₁ ={1,1,1,1} avec u1 = 4 et d₁ = 1
 P₂ ={1,1,2} avec u2 =2 et d₂ = 2
 P₃ = {1,3} avec u₃ =1 et d₃ = 2
 P₄ = {2,2} avec u₄ = 0 et d₄ = 1
 P₅ = {4} avec u₅ =0 et d₅ = 1

On désigne par :
su_n le nombre total de chiffres 1 écrits dans toutes les partitions de n :

sd_n le nombre total des entiers distincts écrits dans toutes les partitions de n :

Q₁ Prouver que, quel que soit n, su_n = sd_n

Lorsque Zig a terminé, une seule partition P’ avec quatre entiers distincts a été écrite et su_n < 100
Q₂ Déterminer n, le nombre correspondant k de partitions et sdn. En déduire sd_n+1.

 Solution