Luminarix, la marque bien connue d'appareils et d'accessoires d'éclairage en tous genres, vend des guirlandes de Noël constituées par des cordons auxquels sont accrochés des lumignons de couleurs différentes. Le nombre de couleurs de ces lumignons caractérise le type des guirlandes. Ainsi les guirlandes de type 3 contiennent des lumignons de trois couleurs différentes. Traditionnellement, ces guirlandes sont vendues dans des boîtes numérotées N qui contiennent N -  1   guirlandes de types 2 à N. C'est ainsi que la boîte n°4 contient 3 guirlandes respectivement de types 2,3,4.

Elle a décidé de ne produire cette année que des guirlandes originales comportant, pour chaque type, le plus grand nombre possible de lumignons et vérifiant la propriété suivante : si, à partir de l'extrémité servant à l'alimentation du cordon,  les p^ième  et q^ième  lumignons (p et q différents) sont de la même couleur, le (p+q)^ème  lumignon, lorsqu'il existe, est d'une couleur différente.

Luminarix affirme dans sa publicité que les boîtes, numérotées de 2 à 5, contiennent respectivement 8, 30,100 et 300 lumignons. Démontrer que trois de ces quatre nombres sont erronés.

Luminarix n'a pas encore commercialisé la boîte n°6 qui devrait comporter cinq guirlandes de 2,3,4,5 et 6 couleurs distinctes. Pourriez-vous l'aider à calculer le nombre total de lumignons à afficher sur la boîte ?

Contraints à des économies après la crise, les responsables de Luminarix, s'interrogent sur la possibilité de modifier les types des différents cordons en appliquant la condition précédente aux deux extrémités des guirlandes. Pouvez-vous les renseigner en précisant les nouvelles compositions des différentes boîtes ?