| A5935. Des n-uples parfaits |
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| A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n |
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On s’intéresse aux n-uples – par convention appelés « parfaits » – d’entiers distincts strictement positifs a1, a2, …an-1,an tels que leur somme sn = a1 + a2 + …an-1 + an et leur produit pn = a1a2…an-1an sont l’une et l’autre des puissances parfaites d’ordre n. Par exemple, pour n = 2, on a la paire (a1, a2) telle que la somme s2 = a1 + a2 est un carré parfait et le produit p2 est aussi un carré parfait.
Q1 Montrer qu’on sait trouver trois paires parfaites distinctes dont le plus petit terme prend la même valeur inférieure à 1000. Q2 Montrer qu’on sait trouver trois triplets parfaits distincts dont les sommes s3 sont trois cubes d’un même entier inférieur à 10. Q3 Montrer qu’on sait trouver trois 4-uples parfaits distincts dont les sommes s4 sont trois puissances d’ordre 4 d’un même entier inférieur à 5. Q4 Démontrer que quel que soit l’entier n ≥ 2, il existe une infinité de n-uples parfaits.
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