Exercice n°1

1836, 1887, 1954 et 2005. Ces quatre dates appartiennent à quatre régimes politiques de l'histoire de France. Lesquels ?

Ces mêmes dates figurent dans l'expression
E_n = 2005ⁿ - 1887ⁿ - 1954ⁿ + 1836ⁿ.
Démontrer que E_n est divisible par 2006 quel que soit n.

Exercice n°2

1806 est la date d'une victoire napoléonienne. Laquelle ?

On retrouve cette date dans la suite définie par
u_n = 3ⁿ + 4ⁿ + 6ⁿ + 7ⁿ + 12ⁿ + 43ⁿ + 1806ⁿ - 1 pour n 1.
Quels sont tous les entiers qui sont premiers avec tous les termes u_n ?

Source : d'après olympiades internationales de mathématiques

 Solution