On considère l’ensemble  E des entiers naturels n? 2013 tels que  le produit des diviseurs propres* de n est égal à une puissance entière k > 0 de n. Par convention,on dit que l’empan de n est égal à  k. Par exemple l’entier 12 appartient à E avec ses diviseurs propres 1,2,3,4 et 6 qui ont pour produit 144 = 12² et son empan est égal à 2. A l’inverse le carré parfait 25 dont le produit des diviseurs propres est égal à 5 et le nombre premier 13 dont le seul diviseur propre est 1 ne font pas partie de E.
Quatre entiers A,B,C et D pas nécessairement pris dans cet ordre et appartenant à E forment une progression arithmétique.
A : « Mon empan est pair. »
B : « J’ai sans conteste le plus grand empan dans E . »
C : « Je suis plus petit que A mais j’ai le même empan que lui. »
D : « Parmi les entiers de E supérieurs à B comme moi, tous ont un empan différent du mien. »
Qui sommes-nous ?
*Nota : diviseur propre ou diviseur aliquote : tout entier naturel qui divise exactement un entier autre que lui-même

 Solution