On fixe un entier k ≥ 1 et on s’intéresse aux quadruplets philotétriques Q_k(a,b,c,d) d’entiers distincts a,b,c,d, 0 < a < b < c < d, tels que les six entiers ab + k, ac + k, ad + k, bc + k, bd + k et cd + k sont des carrés parfaits.    
Q₁ k = 1.On choisit un entier a quelconque ≥ 1. Prouvez qu’on sait toujours trouver au moins deux quadruplets philotétriques Q₁(a,b,c,d) distincts.[***]
Application numérique :donnez deux quadruplets philotétriques Q₁(2025,b,c,d) distincts.
Q₂ k est un carré parfait p² .Démontrez que quel que soit p, on sait toujours trouver un quadruplet philotétrique Q_p²(a,b,c,d).[**]
Application numérique : trouvez un quadruplet philotétrique  Q₂₀₂₅(a,b,c,d)
Q3 Pour k prenant les valeurs de 1 à 10, identifiez :
 - les quatre valeurs avec lesquelles il existe au moins un quadruplet philotétrique,
 - les quatre valeurs avec lesquelles on sait démontrer qu’il n’existe aucun quadruplet philotétrique  
 et
 - les deux valeurs restantes avec lesquelles on conjecture qu’il n’existe pas de quadruplet philotétrique.
Justifiez chacune de vos réponses. [*****]

 Solution