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A4. Equations diophantiennes
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Arachné l’araignée et Formica la fourmi sont respectivement au pied d’un acacia A et d’un frêne F distants de 36 mètres. Coccinella la coccinelle, située au sol à mi-distance entre ses deux comparses, voit les sommets des deux arbres sous un angle droit. Elles engagent la conversation suivante :
Coccinella : « les hauteurs respectives ha et hf de l’acacia et du frêne s’expriment en nombres entiers de mètres et ha < 5hf ».
Arachné : « je vois le frêne de son pied jusqu’au sommet sous un angle α ».
Formica : « de la même manière je vois l’acacia sous un angle qui est un multiple entier de l’angle α ».
Cher lecteur, déterminer les hauteurs des deux arbres en prouvant que la solution est unique.
Solution
 Maurice Bauval,Daniel Collignon,Thérèse Eveilleau,Francesco Franzosi,Michel Goudard,Bruno Grebille,Marc Humery,Patrick Kitabgi,Kee-Wai Lau,Baphomet Lechat,Jean Moreau de Saint Martin,Gaston Parrour,Rémi Planche,Christian Romon,Pierrick Verdier et Emmanuel Vuillemenot ont résolu le problème.
Nota: la déclaration de Coccinella laissait entendre que les hauteurs de l'acacia et du frêne étaient distinctes avec l'acacia plus haut que le frêne sans dépasser cinq fois sa taille. Dès lors il y a une seule solution avec les hauteurs respectives 27mètres et 12 mètres. Il existe une seconde solution qui formellement ne contredit pas Coccinella et a été mentionnée par plusieurs lecteurs avec les deux arbres de même hauteur (18 mètres).
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