Pour tout entier k ≥ 1, on s’intéresse aux suites S de k entiers strictement positifs xi, i = 1,2,…,k, classés dans l’ordre non décroissant x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤  ,…≤.x_i,≤ …≤.x_k-1,≤ x_k tels que la somme des k entiers est égale au produit de ces mêmes entiers.

On désigne par N(k) le nombre de telles suites.
Q₁ Pour un entier k quelconque fixé à l’avance, démontrer qu’il existe toujours au moins une suite S et que N(k) est borné. [**]
Q₂ Déterminer les suites S et N(k) pour k prenant respectivement les valeurs 2,3,4,5,6,20,25.[**]
Q₃ Pour les plus courageux disposant d’un automate, déterminer les suites S et N(k) pour k = 2025.[***]
Q₄ Prouver que pour tout entier n > 1 on sait toujours trouver des suites S de k entiers telles que N(k) ≥ n.[****]
Application  numérique n = 2025.

 Solution