A4938. Identifiés par leurs extrêmes Imprimer
A4. Equations diophantiennes

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Problème proposé par Bernard Vignes

Q1 Déterminer les entiers n positifs ≤ 2021 tels que :
1er cas : la somme des deux plus grands diviseurs de n est la puissance d’ordre 4 de la somme de ses trois plus petits diviseurs.
2ème  cas : la somme des trois plus grands diviseurs de n est le carré de la somme de ses trois plus petits diviseurs
3ème  cas : la somme des quatre plus grands diviseurs de n est le cube de la somme de ses quatre  plus petits diviseurs
Q2 Démontrer qu’il existe une suite infinie d’entiers n tels que la somme de ses trois plus grands diviseurs est le cube de la somme de ses trois plus petits diviseurs.
Q3 Démontrer qu’il existe une suite infinie d’entiers n tels que  la somme de ses sept plus grands diviseurs est une puissance d’ordre k ≥ 2 de la somme de ses sept plus petits diviseurs.
Q4 Démontrer qu’on sait trouver un entier n produit de trois nombres premiers distincts tels que la somme des quatre plus grands diviseurs de n est le carré de la somme de ses quatre plus petits diviseurs.
Nota : les diviseurs de n incluent le plus petit diviseur 1 et le plus grand diviseur n.

 Solution



pdfMaurice Bauval,pdfPierre Leteurtre,pdfDaniel Collignon et pdfBernard Vignes ont résolu le poblème.