A426. Le partage du trésor |
A4. Equations diophantiennes |
Des pirates d’âges tous différents se répartissent en quatre groupes d’effectifs identiques pour récupérer p pièces d’or enfouies dans l’Ile au Trésor. Pour la répartition du butin, ils se regroupent et conviennent des règles suivantes : -Ils se mettent tous sur une seule rangée par ordre décroissant d’âge, le doyen occupant la première position 1 jusqu’au plus jeune qui occupe la dernière position. Ils opèrent selon ces règles mais plusieurs pirates parmi les plus jeunes contestent la configuration finale, arguant qu’elle dépend de l’ordre dans lequel se sont effectués les mouvements intermédiaires de pièces. Q1 Démontrer que les contestataires ont tort et que la configuration finale est unique. Q2 Deux pirates se retrouvent avec le même nombre de pièces et le produit des numéros de leur position dans la rangée est égal au nombre total de pièces. Trouver n et p. SolutionCe problème est une variante du problème n°C7 retenu dans la liste des problèmes présélectionnés pour les Olympiades Internationales 2001 de Mathématiques.On lira avec intérêt la solution de A426-IMO2001-C7 notamment pour la démonstration de l'unicité de la configuration finale. Patrick Gordon de son côté a résolu le problème et obtenu n = 32 pirates se partageant p = 506 pièces en réponse à Q2 |