Problème proposé par Jean Drabbe

Quatre familles composées chacune de quatre personnes constatent qu'elles ont toutes la même somme des âges de leurs membres (âges exprimés en nombres entiers), la même somme des carrés de leurs âges et la même

somme des cubes des âges. De plus, les seize personnes concernées ont toutes des âges distincts entre eux. Quels sont les âges dans chacune des familles ?

Une des nombreuses solutions est : 0 23 24 47 - 2 14 33 45 - 3 12 35 44 - 5 9 38 42

Dans cette solution, pour chacune des familles, la somme des âges minimum et maximum est égale à la somme des âges intermédiaires (0 + 47 = 23 +24 ,2 + 45 = 14 + 33 , 3 + 44 = 12 + 35 , 5 + 42 = 9 + 38).

Nous dirons que cette solution est symétrique.

Une solution est dite primitive si et seulement si 0 y apparaît et le PGCD des seize âges est 1.

1) Existe-t-il une infinité de solutions primitives (on n'impose aucune borne supérieure aux âges) ?

2) Existe-t-il une solution non symétrique ?

 Solution