Problème proposé par Bernard Vignes
Les entiers sphéniques sont égaux au produit de trois facteurs premiers distincts, chacun de ces trois facteurs n’étant exprimé qu'une seule fois.Par exemple l’entier 105 = 3.5.7 est sphénique mais 60 = 2².3.5 ne l’est pas car le facteur 2 figure deux fois.

Q₁ Zig calcule cinq entiers sphéniques dont les facteurs premiers tous distincts appartiennent à la liste des quinze nombres premiers 2,3,5,…,43,47. La différence entre le plus grand E et le plus petit e d’entre eux est la plus petite possible. Déterminer E et e.[**]

Q₂ Zig s’intéresse ensuite aux entiers sphéniques consécutifs.
 Q₂₁ Prouver qu’une suite d’entiers sphéniques consécutifs a au plus trois termes et indiquer les facteurs premiers qui apparaissent nécessairement dans cette suite.[*]
 Q₂₂ Trouver les deux plus petits entiers sphéniques consécutifs puis les deux entiers sphéniques consécutifs dont les six facteurs premiers sont distincts et strictement inférieurs à 23.[*]
 Q₂₃ Zig a déterminé  les trois suites s₁,s₂ et s₃ de trois entiers sphéniques consécutifs < 2025. Pour chacune de ces suites, il établit les suites ordonnées S₁,S₂ et S₃ des 24 diviseurs des entiers sphéniques correspondants, le facteur 1 étant répété trois fois. Il constate que les 10ièmes termes de ces trois suites sont respectivement égaux à 17, 29 et 31. En déduire s₁,s₂ et s₃.[**]
 Q₂₄ Zig a identifié deux suites σ₁ et σ2 de trois entiers sphéniques consécutifs < 10000  telles que les 9^ièmes termes des suites ordonnées Σ₁ et Σ₂ de leurs diviseurs sont égaux à 19. Déterminer σ₁ et σ2.[***]

 Solution