Un entier n_i est représenté comme produit de ses facteurs premiers.
Par exemple n_i = 28 = 2*2*7, ni = 144 = 2*2*2*2*3*3
On ajoute un même entier k à chacun d’eux et la multiplication des entiers ainsi obtenus donne un entier n_i+1.
Par exemple avec k = 1, à partir de n_i = 2*2*7, on a n_i+1 = (2+1)*(2+1)*(7+1) = 3*3*8 = 72 et à partir de
n_i = 144 = 2*2*2*2*3*3 on a n_i+1 = (2+1)*(2+1)*(2+1)*(2+1)*(3+1)*(3+1) = 3*3*3*3*4*4= 1296
L’entier n_i est dit « prolifique »  avec l’entier k s’il divise n_i+1. Ainsi l’entier 144 est prolifique avec k = 1 parce qu’il divise 1296 = 9*144 et l’entier 28 ne l’est pas parce qu’il ne divise pas 72.
Q₁ Avec chacune des douze valeurs de  k variant de 1 à 12, trouver le plus petit entier prolifique correspondant
n1 > k.
Q₂ A partir de chacune de ces douze valeurs de n_₁, sait-on construire  une suite infinie d’entiers prolifiques n₁, n₂, n₃……,n_i,…. ?
Q₃ Pour les plus courageux : quel que soit l’entier k, peut-on dire qu’il existe au moins un entier prolifique > k avec l’entier k ?

 Solution