Un entier strictement positif est dit « économe » si sa factorisation canonique⁽¹⁾ utilise un nombre de chiffres strictement plus petit que l’entier lui-même.
Par exemple, l’entier 1536 = 3*2⁹ est économe avec les trois chiffres de sa factorisation (2,3 et 9) moins nombreux que le quatre chiffres (1,3,5,6) qui le composent. De même l’entier 3125 = 5⁵ est économe avec les deux chiffres (5 et l’exposant 5) de sa factorisation à comparer aux quatre chiffres qui le composent(1,2,3,5).
A l‘inverse, l’entier est dit « dispendieux » si le nombre de chiffres de la factorisation est strictement plus grand que son propre nombre de chiffres.
Par exemple,l’entier 216 = 2³.3³ est dispendieux car les quatre chiffres de la factorisation (2 et trois fois 3) sont plus nombreux que les trois chiffres (1,2,6) qui le composent.

Q₁ Déterminer les dix plus petits entiers économes et vérifier que quatre d’entre eux ont pour somme 2022 (solution unique).
Pour les plus courageux : trouver deux entiers consécutifs économes.

Q₂ Pour tout entier dispendieux N, on désigne par r, coefficient de cherté, le rapport du nombre de chiffres distincts de la factorisation de N au nombre de chiffres distincts de N.
Par exemple 2022 = 2*3*337 est un entier dispendieux et son coefficient de cherté est 3/2.
Trouver un entier dispendieux de quatre chiffres distincts dont le coefficient de cherté est égal à 2.
Prouver que pour r prenant successivement les neuf valeurs 2,3,4,5,6,7,8,9,10 on sait trouver au moins un entier dispendieux.

⁽¹⁾ Nota : la factorisation canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers. Exemples : 96 = 2⁵.3, 1350 = 2.3³.5²

 Solution