Q₁ Pour les valeurs respectives de k = 2, 3 et 4, existe-t-il un entier dont les cinq chiffres sont distincts et différents de zéro tel que l’entier lui-même et les entiers obtenus par permutation circulaire(1) de ses chiffres sont divisibles par un même entier à k chiffres ?

Q₂ Dénombrer les entiers n à sept chiffres ≥ 10⁶ tels que pour chacun d’eux il existe un entier à quatre chiffres qui divise n et les entiers obtenus par permutation circulaire(1) des chiffres de n.

Q₃ Trouver le plus petit entier de neuf chiffres ≥10⁸ dont aucun chiffre n’est égal à zéro et deux chiffres au moins sont distincts tel que l’entier lui-même et les huit entiers obtenus par permutation circulaire(1) de ses chiffres sont divisibles par un même entier à six chiffres. Existe-t-il une solution si le diviseur est un entier à cinq chiffres ?

(1)Nota
1er exemple : n = 17492, les quatre entiers obtenus par permutation circulaire sont 74921,49217,92174 et 21749
2ème exemple : n = 5003, les trois entiers obtenus par permutation circulaire sont 0035 = 35, 0350 = 350 et 3500.

 Solution

Pierre-Henri Palmade,Claude Felloneau,Maurice Bauval,Daniel Collignon,Thérèse Eveilleau,Gaston Parrour,Francesco Franzosi,Bruno Grebille,Pierre Leteurtre,Nicolas Petroff,Jean Moreau de Saint Martin,Antoine Verroken,Bernard Vignes et Maxime Cuenot ont résolu tout ou partie du problème.