| A374. Les entiers sympathiques |
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| A3. Nombres remarquables |
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Soit un entier n > 0. On dit que l'entier k est sympathique s'il existe 2k entiers distincts strictement positifs a1,a2,..ak,b1,b2,..bk tels que les sommes a1+ b1, a2 + b2, ...ak + bk sont deux à deux distinctes et strictement inférieures à n.
Q1 Démontrer que si k est sympathique, alors k est inférieur ou égal à un nombre rationnel r0 que l'on déterminera en fonction de n. Q2 Démontrer que lorsque r0 est un entier, il est lui-même sympathique. Application numérique: n = 14 puis n = 5049 SolutionCe problème est une variante du 5ème exercice du concours général de mathématiques de 1996 dans lequel la valeur de r0 = (2n - 3)/5 figurait explicitement dans l'énoncé.  Jean Louis Legrand,Claude Felloneau,Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Jacques Guitonneau,David Draï,Thérèse Eveilleau,Daniel Collignon ont résolu le problème en obtenant cette valeur de r0 = (2n-3)/5 qui correspond au plus grand intervalle possible [0,r0] à l’intérieur duquel tout entier k est sympathique.Comme l'énoncé ne précisait pas qu'il s'agissait du plus grand intervalle possible, nous avons accepté la solution de Gaston Parrour qui donne une valeur de r0 = (n-1)/3. |
