A373. Les nombres en or - A373. Les nombres en or A3. Nombres remarquable... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 30

On note φ le nombre d'or qui est la plus grande racine réelle de l'équation x² − x − 1 = 0.
Un entier naturel n est dit nombre en or s'il existe:
- deux entiers naturels p et q,
- p + q + 1 entiers a_p, a_p-1, ...a₁ ,a₀ ,a_-1, a-₂, ....a_{-q + 1}, a_-q ne prenant que les valeurs 0 et 1 tels que:
n = a_p.φ^p + a_p-1.φ^p-1 + ....+ a₁.φ + a₀ + a_-1. φ^-1 + ...+a_-q.φ^-q = a373

.
Par exemple l'entier 1 est un nombre en or car on peut écrire 1 = φ^-1 + φ^-2 avec a_i = 0 pour ≥ 0, a_-1 = a_-2 = 1.
Q₁ Montrer que les entiers 2 et 3 sont des nombres en or et en donner une représentation en or.
Q₂ Trouver une représentation en or des entiers 2018 et 2019.
Q₃ Démontrer que tous les entiers naturels admettent une repésentation en or.

Solution