| A337. Résilience |
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| A3. Nombres remarquables |
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On désigne par φ(n) la fonction indicatrice d'Euler qui à tout entier n > 0 associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n. Par exemple φ(6) = 2 car les deux entiers 1 et 5 sont premiers avec 6.
Par convention, la résilience r(n) de l'entier n est égale au plus petit nombre d'itérations de la fonction φ composée r(n) fois de suite avec elle-même tel que: φ(φ(φ(..r(n) fois ..(φ(n)).....) = 1. On écrit φ[r(n)] (n) = 1. Par exemple r(6) = 2 car φ[2](6) = φ(φ(6)) = φ(2) = 1 Q1 Déterminer le plus petit entier n > 2016 tel que r(n) = r(2016) + 2 Q2 Montrer que pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, on sait trouver un entier n tel que r(n) = k. Application numérique: trouver un entier n₁ à trois chiffres tel que r(n₁) = 10 et un entier n₂ à cinq chiffres tel que r(n₂) = 17. Q3 Pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, trouver le plus grand entier n tel que r(n) = k. Application numérique: k = 12 Solution Jean Moreau de Saint Martin,Gaston Parrour,Jacques Guitonneau,Pierre Henri Palmade,Thérèse Eveilleau,Jean Marie Breton,Maurice Bauval,Jean Louis Margot,Paul Voyer,Simon Pellicer,Antoine Verroken et Daniel Collignon ont résolu tout ou partie du problème. |
