A363. Permutations à la chaine Imprimer
A3. Nombres remarquables

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On considère les fractions rationnelles a/b avec 0 < a < b qui admettent un développement décimal périodique de longueur n > 1, de la forme a/b = 0.d1d2d3...dnd1d2d3...dn.... avec le bloc d1d2d3...dn qui se répète à l'infini.
Par exemple : 2/7 = 0.285714285714....a un développement décimal périodique dont le bloc de longueur 6 est 285714.
On effectue une suite de permutations circulaires sur les chiffres de chaque bloc d1d2d3...dn.Lors d'une permutation le dernier chiffre de chaque bloc passe en première position de ce bloc tandis que les n ‒ 1 autres chiffres sont décalés d'un cran vers la droite et l'on obtient à nouveau l'écriture d'une fraction rationnelle.
Soit rk(a/b) la k-ième fraction rationnelle obtenue à l'issue d'une k-ième permutation circulaire opérée sur a/b avec k entier positif quelconque.
Par exemple à partir de a/b = 2/7, on a r1(2/7) = 0.428571428571... = 3/7, puis r2(2/7) = 0.142857142857... = 1/7, r3(2/7) = 0.714285714285.. = 5/7,  etc...., r6(2/7) =  0.285714285714.. = 2/7,  etc...
Sachant que r8(a/b) = 2r2(a/b) et r4(a/b) = 4r8(a/b), déterminer la plus petite fraction a/b dont le développement décimal a la plus petite période n > 1 possible puis calculer r2016(a/b).

 Solution



pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfGaston Parrour,pdfPierre Henri Palmade,pdfBernard Grosjean, pdfPatrick Gordon et pdfBernard Vignes ont résolu le problème en obtenant la plus petite fraction =  13/17.