On considère les fractions rationnelles a/b avec 0 < a < b qui admettent un développement décimal périodique de longueur n > 1, de la forme a/b = 0.d₁d₂d₃...d_nd₁d₂d₃...d_n.... avec le bloc d₁d₂d₃...d_n qui se répète à l'infini.
Par exemple : 2/7 = 0.285714285714....a un développement décimal périodique dont le bloc de longueur 6 est 285714.
On effectue une suite de permutations circulaires sur les chiffres de chaque bloc d₁d₂d₃...d_n.Lors d'une permutation le dernier chiffre de chaque bloc passe en première position de ce bloc tandis que les n ‒ 1 autres chiffres sont décalés d'un cran vers la droite et l'on obtient à nouveau l'écriture d'une fraction rationnelle.
Soit r_k(a/b) la k-ième fraction rationnelle obtenue à l'issue d'une k-ième permutation circulaire opérée sur a/b avec k entier positif quelconque.
Par exemple à partir de a/b = 2/7, on a r₁(2/7) = 0.428571428571... = 3/7, puis r₂(2/7) = 0.142857142857... = 1/7, r₃(2/7) = 0.714285714285.. = 5/7, etc...., r₆(2/7) = 0.285714285714.. = 2/7, etc...
Sachant que r₈(a/b) = 2r₂(a/b) et r₄(a/b) = 4r₈(a/b), déterminer la plus petite fraction a/b dont le développement décimal a la plus petite période n > 1 possible puis calculer r₂₀₁₆(a/b).

Solution