Tout entier naturel n dont la somme de ses diviseurs σ(n) est strictement supérieure à 2n est appelé abondant. Il est déficient quand σ(n) < 2n.(1).

Q₁Sans l’aide d’un quelconque automate, trouver un couple d’entiers naturels consécutifs (n, n+1) qui sont abondants l’un et l’autre.[**]

Q₂ Démontrer que quel que soit l’entier k fixé à l’avance, on sait trouver k entiers naturels consécutifs qui sont tous abondants.[****]

Q₃ Trouver la plus longue suite de nombres entiers consécutifs qui sont tous déficients.[**]

Q₄ Démontrer qu’il existe une infinité de suites de cinq entiers naturels consécutifs déficients.[***]

(1) Nota pour mémoire: quand σ(n) = 2n, n est appelé nombre parfait.

 Solution

Pierre Henri Palmade, Jean Moreau de Saint Martin, Michel Lafond,Claude Felloneau, Paul Voyer et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème.
Nos lecteurs nous ont signalé que les nombres abondants et déficients font l'objet de multiples articles disponibles sur Internet, parmi lesquels on peut retenir:
- Note on consecutive abundant numbers de Paul Erdös,
- On the density of the abundant numbers du même auteur
- Bounds for the density of abundant integers de Marc Deléglise
- Long gaps between deficient numbers de Paul Pollack