A340. Les familles kappa Imprimer
A3. Nombres remarquables

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Problème proposé par Michel Lafond

Dans le système dĂ©cimal, un entier positif  ?  est appelĂ© « kappa » si on sait trouver un entier naturel n tel que  ?  =  n / P(n) oĂą P(n) dĂ©signe le produit des chiffres de n.
Exemple :  17  est un nombre « kappa »  car  17 = 816 / 48 avec P(816) = 48
Q1 Je suis un entier naturel n dont le  produit de mes 7 chiffres est Ă©gal Ă  = 27648  et auquel on peut associer un « kappa »  ? = n / 27648. Je suis Ă  la tĂŞte d'une belle famille d'entiers qui me divisent tous et ont tous le mĂŞme « kappa » que moi. L'un d'entre eux est 96 fois plus petit que moi.Trouver tous les membres de la famille ainsi que le « kappa » qui leur est commun.
Pour un entier positif  ?   donnĂ©, on dĂ©finit sa famille  F (? )  comme l’ensemble des entiers positifs  n  auxquels on peut associer le mĂŞme « kappa » ? .
Ainsi, la famille de  9  est  F (9) = {135 ; 144 ; 1575}  car 135/(1Ă—3Ă—5)=144/(1Ă—4Ă—4)=1575/(1Ă—5Ă—7Ă—5)=9 et il n’y a pas d’autres nombres  n qui vĂ©rifient 9 = n / P(n) avec  ?  =  9.
Q2 Donner les familles F(? ) pour ?  variant de 1 Ă  30.
Q3 DĂ©montrer que F (? )  est nĂ©cessairement un ensemble fini.


 Solution


pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfMaurice Bauval et pdfMichel Lafond ont résolu le problème.