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A3. Nombres remarquables
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Trouver l'ensemble des entiers naturels N dont les chiffres et ceux de N2 dans la représentation en base 10 sont dans un ordre non décroissant de gauche à droite.
Même question avec un ordre non croissant des chiffres lus de gauche à droite.
Solution
Jean Moreau de Saint Martin a résolu le problème.
Des universitaires américains ont conjecturé lors d'un séminaire qu'une
base b a des solutions en nombre infini si et seulement si b-1 est
divisible par le carré d'un nombre premier. Les chiffres d qui se
répètent sont de la forme 0<d<b-1 avec d2 divisible par b-1. Cette conjecture reste à démontrer. On pourra se
reporter aux pages 9 à 22 du fichier disponible à l'adresse suivante : http://www-csfaculty.stanford.edu/~knuth/papers/cs1055.pdf
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