Une séquence infinie est définie par :
- son premier terme x₁ = 2008/1515 qui est le rapport du millésime de l'année en cours à l'année de la bataille de Marignan.
- la relation x_n+1 = x_n + 1/[x_n] dans laquelle [x_n] désigne la partie entière par défaut de x_n.
Montrer qu'il existe au moins un nombre entier dans cette séquence. Déterminer le premier nombre entier qui apparaît et la valeur correspondante de n.
Généralisation avec p/q > 1 , p et q nombres entiers premiers entre eux. Démontrer qu'il existe au moins un nombre entier dans la séquence.

Source : d'après Olympiades russes de mathématiques 2007

 Solution