Pour toute fraction rationnelle f, on définit par [f] la partie entière par défaut de f et par {f} la partie décimale = f – [f].
Par exemple f = 13/5, [f] = 2 et {f} = 3/5,  f = −3/2,  [f] = − 2 et {f} = 1/2.
On s’intéresse aux fractions rationnelles irréductibles f de la forme n/d avec n entier relatif non nul, d entier strictement positif ≥ 2, n et d sans diviseur commun > 1, telles que le produit f*[f]*{f} est un nombre entier p strictement positif.
Ces fractions f sont appelées « parfaites ».
Q₁ Déterminez les trois plus petites valeurs entières de p qui peuvent être obtenues avec trois fractions parfaites.
Q₂ Prouvez que quel que soit d ≥ 2, on sait trouver un entier relatif n sans diviseur  commun avec d tel que la fraction f = n/d est parfaite.
Prouvez qu’il y a une infinité dénombrable de fractions f parfaites qui donnent des entiers distincts.
Q₃ Parmi les cinq équations f*[f]*{f} = 1330, f*[f]*{f} = 1740, f*[f]*{f} = 2022, f*[f]*{f} = 2026, f*[f]*{f} = 2032 l’une d’entre elles n’a pas de solution en f. Laquelle ? Justifiez votre réponse.
Q₄ Est -il vrai que pour une même valeur p on peut avoir deux fractions parfaites distinctes ? trois fractions parfaites distinctes ?

 Solution