Zig aime filouter les équations : il écrit des équations avec des racines carrées où a,b,c,d sont des entiers relatifs non nuls et deux à deux distincts.

On dit que l’équation est filoute si, après avoir effacé les radicaux mais conservé la suite des signes (ici « +» puis deux fois « −»), on obtient l’équation linéaire ax + b – cx – d = 1 et que la solution entière de cette équation est aussi une solution entière de l’équation avec racines⁽¹⁾.


Q₁ Trouver tous les quadruplets (a,b,c,d) avec 1 ≤ b < 2025, c = 2025 tels que les équations filoutes correspondantes admettent toujours 2024 pour solution entière. 
Q₂ Trouver 5 quadruplets (a,b,c,d) tels que les équations filoutes correspondantes admettent pour solutions entières un ensemble de 5 entiers consécutifs.
Q₃ Déduire une formule générale qui donne pour tout m ≥ 1et tout départ convenable N, une famille de m quadruplets donnant exactement m solutions entières consécutives N,N+1,…,N + m − 1. 
⁽¹⁾ Nota : c’est la filouterie avec l’effacement trompeur qui conserve la bonne solution entière.

 Solution