A2890. Les épigones du 723ème problème Imprimer
A2. Algèbre élémentaire

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Pour l’indice i prenant respectivement les cinq valeurs 1,2,3,4,5 trouvez tous les couples d’entiers strictement positifs ai et bi qui satisfont à la fois les deux relations suivantes quel que soit n entier > 3 :
1ère famille des parties entières par défaut
a2890-01

où ⌊X⌋ désigne la partie entière par défaut de X.
Exemple ⌊2.718⌋ = 2

2ème famille des parties entières par excès
a2890-02

où ⌈Y⌉ désigne la partie entière par excès de Y.
Exemple ⌈1.414⌉ = 2

Justifiez vos réponses.

Source : ce problème est une extension du 723ième problème posé en 1918 par Ramanujan à la Société Indienne de Mathématiques : pour tout entier n > 0 , prouver que ⌊√n+ √n+1⌋=⌊√4n+2⌋ avec ⌊X⌋ qui désigne la partie entière de X

 Solution

pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfClaude Felloneau,pdfThérèse Eveilleau,pdfBruno Grebille,pdfGaston Parrour,pdfMaurice Bauval,pdfDaniel Collignon,pdfPierre Henri Palmade,pdfPierrick Verdier ont résolu tout ou partie du problème.

Nota : le 723ème problème de Ramanujan a donné lieu à de nombreuses variantes diffusées au cours des années passés dans de nombreuses revues mathématiques ou lors de concours internationaux de mathématiques.
On pourra lire avec intérêt  pdfl'une des démonstrations de l'identité de Ramanujan donnée dans les années 1950 ainsi que  l'article beaucoup plus récent de pdfAndrzej Kukla  intitulé "On some generalizations to floor function identities of Ramanujan".