On considère les graphes de quatre polynômes distincts p(x),q(x),r(x),s(x) à variables réelles passant par l’origine O et on étudie les positions respectives de ces graphes vus du bas vers le haut de part et d’autre de O.
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Par exemple avec p(x) = ‒ x², q(x) = ‒ x² – x³, r(x) = 0 et s(x) = ‒2x³, dans le demi-plan des abscisses négatives et au voisinage de O, on a p(x) < q(x) < r(x) < s(x) tandis que dans le demi-plan des abscisses positives et toujours au voisinage de O, on a q(x) < p(x) < s(x) < r(x). En d’autres termes en attribuant un numéro d’ordre à chacun des polynômes, l’ordonnancement (1,2,3,4) à gauche de l’origine devient (2,1,4,3) à droite de l’origine. On dit alors que la configuration (1,2,3,4) → (2,1,4,3) est possible.
Q₁ Prouver qu’il est impossible d’obtenir la configuration (1,2,3,4) → (2,4,1,3).
Q₂ Pour les plus courageux : dénombrer parmi les 4! = 24 permutations (i, j, k, l) des graphes, celles p,

Solution