On recherche les solutions en x réels positifs des neuf équations de la forme(1) :

                                                                                                                         
avec l’indice k qui varie de 1 à 9, ⌊2ⁱx⌋ qui représente la partie entière par défaut de 2ⁱx et n_k qui sont des entiers de k + 1 chiffres respectivement égaux à 12, 123, 1234, 12345, 123456 ,1234567, 12345678, 123456789, 1234567890.

Prouver que certaines de ces équations ont zéro solution et qu’à l’inverse les autres en ont une infinité. Avec chacune de ces dernières, on donnera la plus petite solution en x.

(1) Nota:pour k = 1 et pour k = 9, l'équation s’écrit respectivement et