Problème proposé par Pierre Renfer

Question 1
 
Pour un entier naturel n non nul, on pose:

Montrer que la suite (u_n)   converge et déterminer sa limite.

Question 2
Pour un entier n supérieur ou égal à 2, on pose :       

Montrer que la suite (v_n)  diverge parce que les suites (v_2n) et (v_2n+1)  convergent vers des limites distinctes.