Q₁ Soit un entier n < 2020. Zig écrit au tableau noir deux fractions inverses l’une de l’autre 2020/n et n/2020 puis il écrit une troisième fraction qui est la moyenne arithmétique de ces deux fractions. Il poursuit les calculs et à chaque étape il choisit deux fractions f_i et f_j parmi celles qu’il a déjà été écrites et il obtient une nouvelle fraction qui en est la moyenne arithmétique (f_i + f_j)/2.
Déterminer toutes les valeurs de l’entier n telles qu’au bout d’un nombre fini d’étapes Zig parvient à obtenir l’entier 1.
Q₂ Deux fractions rationnelles m/n et n/m sont écrites au tableau noir, avec m et n entiers relativement premiers entre eux.  On calcule la moyenne arithmétique de ces deux fractions. On poursuit les calculs et à chaque étape on choisit deux fractions f_i et f_j parmi celles qui ont déjà été écrites et on obtient une nouvelle fraction qui en est la moyenne arithmétique (f_i + f_j)/2
Déterminer toutes les paires entiers (m,n) telles qu’au bout d’un nombre fini d’étapes on parvient à obtenir l’entier 1.