Mis au goût du jour, voici quatre devoirs de vacances extraits du recueil de problèmes mathématiques "Propositiones ad acuendos juvenes" d'Albinus Flaccus Alcuin (735 – 804), précepteur de Charlemagne, directeur de l'Ecole Palatine à Aix-la-Chapelle et principal artisan de la Renaissance carolingienne.
Nul doute que ces récréations aiguiseront la perspicacité des jeunes lecteurs de diophante.fr même aussi celle des plus âgés…

1^er devoir [*]
Zig est un cycliste chevronné et a l'habitude de faire à bicyclette dans la journée le trajet aller-retour Vichy-Roanne qui traverse les Monts de la Madeleine à la hauteur de la Croix du Sud.
En terrain plat, sa vitesse moyenne est de 24km/h.
En terrain accidenté (hors la montée à la Croix du Sud), sa vitesse moyenne est de 18km/h à la montée et de 36km/h à la descente.
Lors de la montée à la Croix du Sud, sa vitesse moyenne est de 15km/h et passe à 60km/h dans la descente.
Il part de Vichy à 8 heures du matin, se repose pendant deux heures dès son arrivée à Roanne et par la même route qu'à l'aller il est de retour à Vichy à 16 heures.
Déterminer la distance en kilomètres qui sépare Vichy de Roanne.

2^ième devoir [**]
Zig et Puce se promènent dans la même direction sur une piste forestière des Bois Noirs, le premier à pied, le second sur son VTT tandis qu’un cavalier et un conducteur d’abatteuse-ébrancheuse viennent de la direction opposée. Tous les quatre avancent à des vitesses constantes.
-    A dix heures du matin exactement, Puce dépasse Zig,
-    Après un certain intervalle de temps t₁ Puce rencontre le cavalier,
-    Après un deuxième intervalle de temps t₂ qui suit t₁, Puce croise le conducteur d’abatteuse-ébrancheuse,
-    Après un troisième intervalle de temps t₃ qui suit t₂, le conducteur d’abatteuse-ébrancheuse rencontre Zig . Il est alors 10 heures 20 du matin.
-    Enfin après un quatrième intervalle de temps t₄ qui suit t₃, le cavalier se fait dépasser par le conducteur d’abatteuse-ébrancheuse..
Sachant que t₁ = 2t₂ et t₄ = 2t₃ , déterminer  à quelle heure exactement Zig a rencontré le cavalier.

3^ième devoir [**]
Ce matin à 8 heures, Zig, Puce et leur jument Rossinante partent en randonnée pour faire leur circuit habituel de 34 km dans la Montagne bourbonnaise.
L'un des deux amis est à pied, l’autre chevauche Rossinante dont le trot est plus rapide que la marche à pied. Au bout d'un certain temps le cavalier descend de cheval et poursuit sa route à pied tandis que Rossinante fait demi-tour pour retrouver le marcheur. Celui-ci monte alors à cheval .
Ce manège où chacun des deux amis poursuit son chemin à pied tandis que l'autre chevauche Rossinante revenue à sa rencontre peut se répéter autant de fois qu'ils le décident.
Quand ils sont à pied, Zig et Puce se déplacent à des vitesses constantes, respectivement égales à 6km/h et 4km/h. Quand Rossinante est  seule ou chevauchée par l'un des deux amis, son trot est constant (12km/h).
Zig et Puce souhaitent être de retour l’un et l’autre avant midi au plus tard. Est-ce possible? Si oui, à quelle heure? Si non, quelle devrait être la vitesse de Puce (en km/h arrondie à l’entier le plus proche) pour qu’il en soit ainsi?

4^ième devoir [***]
Zig et Puce font un aller-retour sur la Sioule en canoë-kayak de la bourgade de Saint Pourçain au village de Bayet. A l'aller, ils sont à contre-courant.
Le départ est fixé à 10 heures du matin. Quelques instants plus tard, Puce perd sa caquette mais ne s'en aperçoit pas tout de suite. Quand il s’en rend compte, Puce plonge dans la rivière à la recherche de sa casquette.
Comme prévu, Zig arrive à Bayet à 11 heures et fait immédiatement demi-tour.
Zig revient au point  de départ  de Saint Pourçain au moment même où Puce retrouve sa casquette.
Zig fait alors le calcul que s’il avait fait demi-tour juste après avoir constaté la disparition de la casquette sans aller jusqu’à Bayet, la casquette aurait été récupérée à 1800 mètres de Saint Pourçain.
Sachant que la vitesse de déplacement (hors courant) de Zig sur le canoë-kayak, la vitesse de Puce à la nage (hors courant) , la vitesse du courant sont des constantes qui s'expriment en nombres entiers de kilomètres par heure, déterminer la distance qui sépare les deux villages et l'heure de retour des deux amis.