A2989. Les ensembles géométriques |
A2. Algèbre élémentaire |
Problème proposé par Michel Lafond
On appelle ensemble géométrique, un ensemble de 4 points distincts du plan G = {A, B, C, D} tel que les 6 distances des points pris deux à deux forment l’ensemble {1, r, r2 , r3 , r4 , r5 } avec 0 < r < 1. Q1. Calculer r (valeur exacte) dans le cas où les 4 points A, B, C, D sont alignés. Q2. Calculer r (valeur exacte) dans la configuration ci-dessous : Q3. Quelles sont les valeurs extrêmes de r ? SolutionEn raison d'un loupé malencontreux du webmaster dans le "copier-coller" de cet énoncé sur le site de diophante.fr, le texte diffusé le 1er avril a été amputé de la double inégalité 0 < r < 1 si bien que les lecteurs se répartissent en deux groupes: - ceux qui ont retenu la version complète diffusée avec quelques jours de décalage.Parmi eux Claudio Baiocchi,Michel Lafond,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Leteurtre,Paul Voyer,Patrick Gordon et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie (Q1 et Q2) du problème. Les valeurs de r obtenues dans les trois questions sont respectivement Q1:0.754877.. Q2:0.836909...,Q3: valeur minimale = valeur de Q1 = 0.754877...et valeur maximale: 0.892310... - ceux qui ont retenu r quelconque et ont obtenu logiquement des résultats qui se recoupent partiellement avec les résultats exposés ci-dessus: Maurice Bauval,Dominique Chesneau,Jean Nicot,Marie-Christine Piquet,Jean-Louis Margot. |